数学猜想:数学独特魅力的一种体现

文/唐国强 (作者单位:加拿大多伦多大学文理学院)

据最近的英国《自然》杂志报道,日本数学家望月新一(Shinichi Mochizuki)将发布重要数学猜想——abc猜想的证明过程,定稿长达600多页。8年前,他曾用长达500多页的4篇论文,声称自己证明了abc猜想,引发学术界大讨论,然而很少有人能够理解他的这项工作。abc猜想是数学中最大的开放性问题之一,它表现出了整数加法和乘法间深刻的联系;很多著名的数学猜想和定理都基于它问世,这使得该猜想备受青睐。这回望月新一的证明过程即将出版,再度引起了人们对数学猜想的关注和重视。

数学猜想(或称数学猜测、数学假设、数学问题等),非一般的猜想或游戏。它是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断,它既有逻辑的成分,又含有非逻辑的成分,因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性。这样的假定性命题是否正确,尚需通过验证和论证。虽然数学猜想的结论不一定正确,但它作为一种创造性的思维活动,是科学发现的一种重要方法,也是数学独特魅力的一种体现。

数学猜想由前提和结论两部分组成。它以已有的部分事实和正确的数学知识(公理、定理、公式等)为前提,以在前提的基础上作出的假定性的判断为结论。它可分为存在型猜想(如“费马猜想”),状态型猜想(如“庞加莱猜想”),关系型猜想(如“哥德巴赫猜想”),方法型猜想(如“四色问题”)等。数学猜想是以一定的数学事实为根据,包含着以数学事实作为基础的可贵的想象成分;没有数学事实作根据,随心所欲地胡猜乱想得到的命题不能称之为“数学猜想”。

数学猜想通常是应用观察、类比、分析、归纳等方法提出的,或者是在灵感中、直觉中闪现出来的。例如,中国数学家周海中根据已知的梅森素数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年正式提出了梅森素数分布的重要猜想(即“周氏猜测”);美籍挪威数学家、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为:周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

数学猜想是猜想者运用分析、综合、演绎尤其是类比、归纳等科学发现的思维方法,通过对数学对象和客观现象的洞察而预测新的数学事实与规律。创新性是其重要特征,没有创新,就谈不上数学猜想,创新是数学猜想的灵魂。数学猜想的创新性表现于揭示新的数学事实、预见新的数学规律。可见创新性是数学猜想的一大特点。

破解数学猜想,是最智慧的头脑所进行的最艰难、最深入的探索。探索就是在确定性之外寻求人们还不了解的领域和事实,探索的武器和工具是思维创新、方法创新、理论创新;创新需要改变旧的思维方式、方法,突破固有的理论观点。例如,2018年9月,英国数学家迈克尔·阿蒂亚声称已破解黎曼假设。他在证明过程中引入了一个新的函数(即“Todd函数”),并运用了物理学中精细结构常数α;这是一种颇具创新性的研究方法。

数学猜想有的被验证为正确的(如费马大定理、卡塔兰猜想、庞加莱猜想、林格尔猜想等),并转化为定理,汇入数学理论体系之中;有的被验证为错误的(如梅森猜想、欧拉猜想、费马数猜想、冯·诺伊曼猜想等);还有一些正在验证过程中(如abc猜想、黎曼假设、杰波夫猜想、哥德巴赫猜想等)。可以说,数学猜想的解决对于数学发展所带来的影响,不仅在于猜想本身的被证明或证否,解决数学猜想过程中所采用的创新研究方法,也是数学发展的重大影响因子。

数学猜想一般都是经过对大量事实的观察、验证、类比、归纳、概括等而提出来的。这种从特殊到一般,从个性中发现共性的方法是数学研究的重要动力。数学猜想的提出与研究,生动地体现了辩证法在数学中的应用,极大地推动了数学方法论的研究;而数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用,许多比较困难的重大问题的解决,往往取决于数学概念和数学方法上的突破。

此外,数学猜想往往成为数学发展水平的一项重要标志,它的探究会带来新的数学内容,也会诱导出一些新的猜想。例如:费马猜想产生了代数数论中的核心概念“理想数”;哥德巴赫猜想促进了筛法和圆法的发展,尤其是发现了殆素数、例外集合、小变量的三素数定理等;四色问题通过电子计算机得以解决,从而开辟了机器证明的新时代;黎曼假设不仅使素数定理得以证明,还使1000多个数学命题(以黎曼假设成立为前提)得以提出。从这个意义上讲,数学猜想不仅是一颗颗“璀璨艳丽的宝石”,而且是一只只“能生金蛋的母鸡”。

可以说,数学猜想对于数学发展的作用巨大;而对于它之于科学发展的作用,德国数学家卡尔·高斯有句名言:“若无某种大胆果敢的猜想,一般是不可能有知识进展的。”数学知识的进展往往会促进科学的发展,乃至唤起科学的革命。因此,数学猜想是推动科学发展的强大动力之一。许多科学家认为,数学猜想会造就一种独特的魅力,这种魅力会使它独树一帜,激发人们对它的探究和兴趣。

数学史上充满着各种各样的猜想,伴随并且促进着数学的发展。年年都有不少数学猜想被提出,也有不少数学猜想被破解,还有一些重量级的猜想,让数学家们绞尽脑汁,但迄今尚未被破解;要想破解它们,不仅需要扎实的数学基础、过人的思维能力和顽强的拼搏精神,还需要对前人所做的种种尝试有一系统了解。学术界有个说法:全世界适合去攻克重要数学猜想的人不超过100个,那都是具有百分百天赋的数学家。许多数学猜想看似简单易懂,一般人都能理解,但实则内涵深邃无比,不可轻易触碰、盲目求解;否则就会做“无用功”,甚至浪费生命。

众所周知,数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科;它既是关于已知的,又是关于未知的。数学猜想架起了从已知到未知的桥梁;而破解数学猜想,正是数学家们一直在追求的目标。最后,让我们借用德国数学家大卫·希尔伯特的一句名言来结束本文:“我们必须知道,我们必将知道。”

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