张景中:把数学变容易大有可为

数学很重要,但很难学。改进数学教育是世纪世界的一大主题。

三十年前,我在一本书里提出了“数学教育”的概念。所谓教育数学就是将数学转化为教育,使数学变得更容易。我们应该让概念更简单,推理更简单,方法更强大。

40多年前,当我在新疆的一所农场中学教数学时,有几件事让我意识到数学可以变得更容易。1977年,我在小学用面积计算法做了一道高考题。在1978年的一个奥林匹克数学问题中,我发现了一个基于小学知识的面积法的不到两行的证明。我花了十多年才明白这实际上是几何定理的一种新的机械证明方法。

三角形很难理解,我用菱形面积来定义正弦,然后通过面积计算就可以很容易地得到正弦定理和正弦及角度公式。对此,初二的学生说这很容易理解,记得牢,有趣。

仅仅40年后,我才知道弗赖登塔尔,一个数学教育的大师,问他是否可以提前两年学习。基于小学数学知识,我找到了三角学的生长点,实现了他的愿景。

1979年,我去中国科技大学教书,整理这些经验,并写了《平面几何新路》等书。此后不久,我结合自己在微积分方面的经验,于1989年发表了《从数学教育到教育数学》,提出了“教育数学”的观点,并引用了一些例子来简化数学,涉及几何、三角和微积分。

“教育数学”的理念已经获得广泛认可。2004年,中国高等教育学会教育数学专业委员会成立。专家们在委员会年会上就教育数学进行了深入交流。

数学能否变得容易,应该通过教学实践来检验。为了给教学实践做更多的准备,提供可操作的内容,2006年,我在《数学教学》和《数学通报》上发表文章,提出了“重建三角形,让整个世界活起来”的理念。2009年,我写了《初等数学与第一线的共谋》,并作为科学出版社出版的《走进教育数学》系列中的一本书出版。

经过30年的发酵,重建三角形的想法终于开始渗透到教室里。

从相关的学术刊物和论文中,我们可以捕捉到教学实验的信息:学生和教师都欢迎数学教育,并认为新的概念和方法是独特的,简单易懂,易于接受。

宁波教育学院的崔学芳教授曾在初中一年级组织了一次正弦实验课。结论是:学生始终保持浓厚的兴趣,对后续学习有着强烈的期望,学习动机得到进一步激发;在三角形、几何和代数之间建立了一个相互联系的思维通道,为后续学习拓展了整体思维空间。

2012年至2015年,在广州市科协项目的支持下,广州海珠实验中学青年教师张东方对两个班的105名学生进行了“重建三角”教学实验。实验结果表明,学生思维更加活跃,分析问题和解决问题的能力明显提高。高中入学考试数学成绩优异率达到100%,而对比班为67%。

这项成功的实验引起了注意。一些师范院校将教育数学纳入教学内容,并组织相关的教学实验。在农村山区的实验学校,学生的学习热情有所提高,进步很快。许多教师主动投入教学实践,组织课外活动,编写校本教材,推广教育数学的新理念和新方法。三十年的磨砺使数学在初中更容易成为现实。

解析几何和向量会变得容易吗?微积分呢?

莱布尼茨问道:积分是如何累加的?我们提出的“点几何”给出了最简单的答案,从而为成千上万的几何问题提供了简单明了的恒等式解。这个解可以立即转换成矢量、复数或坐标的表达式。这将使学习解析几何、复数和向量变得更容易。

历史上许多人,如拉格朗日,都试图建立容易理解的微积分,但没有成功。后人普遍认为这条路是无法通行的。《普林斯顿微积分读本》简单地宣称,如果没有极限的概念,微积分就不会存在。

当我在中国科技大学的时候,我试图让微积分变得更容易。尽管我取得了一些小小的进步,但由于进展艰难,我最终还是停下了脚步。受林群在这一领域长期不懈探索的启发,我在过去的20年里重新获得了这方面的研究。最近,我们发现,从一些常见的观点出发,即使没有微积分,我们也可以系统地、简单地解决许多通常被认为是用微积分解决的问题。沿着这种思路,微积分可以在引入极限之前被严格地建立起来。

英国著名数学家阿蒂亚认为,为了传递知识,必须努力简化和统一知识。他希望“在未来的岁月里,即使是孩子也能很容易地理解曾经困扰成人的问题。”

要让数学变得更容易还有很长的路要走,但是还有很多事情要做。

(作者是中国科学院院士和著名数学家)

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